La Matemática Antigua, por Juan Rafael Delía. Segunda Parte

Autores

Grecia.

Según Platón los egipcios no tenían tanto amor como los griegos, utilizaron todos los documentos e información existente, con el tiempo fueron perdiendo terreno, pues solo parecía importante el disfrute de la vida, más que la curiosidad que los llevara al esplendor.

No se tiene mucha información de los siglos VII y VI A.C., solo la Iliada y la Odisea nos traen costumbres y modos de vida solamente.

Se intuye que perdieron terreno por el avance de otros intereses.

La matemática de los egipcios y mesopotámicos fue meramente un instrumento para satisfacer necesidades concretas, careciendo de formas abstractas.

Los griegos le pudieron dar formas más abstractas y puras, diferenciándose del resto  por su madures y predisposición especial.

La información más antigua respecto a las matemáticas figuran en los poemas de Homero, 900 años A.C., y de Hecíodo, 800 años A. C.

Con la escuela pitagórica comienza la idea de “el todo es número”, el número para ordenar y comprender el mundo exterior. Se cultiva el espíritu matemático, tomándose  la matemática como filosofía. La historia de Grecia se puede dividir en tres periodos: uno Helénico, del siglo VI  al IV A. C., el segundo Helenístico, del III a la era cristiana, y el Greco Romano, desde la era cristiana al IV D. C.

 

Periodo Helénico.

Algunos autores lo entienden hasta la muerte de Aristóteles (siglo III A.  C.)

Este periodo es propio de la península, en esta época la filosofía da aportes a la matemática.

Algunos de estos aportes eran solo para el momento, pero otro duraron, ya que formaron parte de los fundamentos de la misma.

En este periodo hay tres escuelas:

1)      Los Jónios. Que ocuparon la primera mitad del siglo VI A. C.

2)      Los Pitagóricos, que ocuparon la segunda mitad del siglo VI.

3)      Los Eléatas, que ocuparon la primera mitad del siglo V A.C.

 

1) Los Jónios.

Eran clanes de tipo cultural con una determinada concepción de vida, en esta escuela se inicia la filosofía y a través de ella, la matemática.

Se concebía que el universo esté regido por elementos naturales como el fuego, el agua, etc.

Para ellos el agua era el principio de todas las cosas porque todo proviene de ella y todo culmina en el agua.

Uno de los representantes era Thales de Mileto, fue uno de los primeros que estuvo en Egipto, ya que como comerciante trafico sal y aceite.

Fue quien introdujo en Grecia el estudio de la geometría, y descubrió mucho por sí mismo y sugirió, el origen de muchas cosas.

Algunas cuestiones las resolvieron en forma general, y otras empíricamente.

Entre las propiedades que podemos citar como propias de Thales o de su escuela son:

“En todo triángulo, a lados iguales se le oponen ángulos iguales”,”todo ángulo inscripto en una circunferencia es recto”, “los ángulos opuestos por el vértice”

Predijo el eclipse del año 585 A. C., esta predicción dio una gran reputación a Thales frente a sus contemporáneos, fue designado uno de los siete sabios de Grecia, dicha designación tuvo especialmente un carácter político ya que los sabios restantes no eran científicos.

Logro calcular alturas y distancias inaccesibles, a través de la semejanza de triángulos.

Hay autores que llaman a Thales el fundador de la geometría racional, porque dedujo ciertas relaciones geométricas de otras más sencillas, que eran conocidas.

El intelecto griego, apoderándose de otras culturas extrajo gérmenes de una ciencia pura, naciendo así el conocimiento general. Por sus características, Grecia, se diferencio de otros pueblos, en que fue moderno y con predisposición especial.

 

2) Los Pitagóricos.

Su mayor representante fue Pitágoras. Este nació en Samos, ciudad del Asia menor, cerca de Mileto.

Creó en cretona una escuela que se dedico a la religión, a la política, filosofía y matemática.

Debido a sus ideas políticas la escuela fue incendiada, y sus se dispersaron por toda la Mesopotamia.

Ellos prometían secretos en sus descubrimientos a los que aparentemente eran atribuidos a su maestro, los mismos no debían ser revelados a extraños de su escuela.

A esta escuela se la puede considerar una secta, tuvieron contacto con el Cristianismo, ya que la misma permaneció varios siglos.

Los discípulos se dividieron en matemáticos, que eran los que podían hablar y neófitos, que eran solo los que podían escuchar.

En esta escuela se aceptaban mujeres, aunque no podían utilizar ciertos colores.

Como para los Jonios el elemento esencial era el agua, para los pitagóricos fue el número, ya que este rige todo el universo.

Todo cuerpo estaba formado por puntos y cada punto está asociado con un número.

Ellos estudiaron la aritmética y la llevaron a la música y la geometría a la astronomía.

Estas cuatro disciplinas formaron el  “cuadribium” de la ciencia en la edad media (recordemos que el tribium estaba formado por la oratoria, dialéctica y la retórica.

El “clan” de los pitagóricos fue una secta sumamente cerrada y se sabe poco de ellos y es por eso que los grandes descubrimientos permanecieron ocultos.

Dentro de la secta, la matemática era a la verdad, surgiendo esta ciencia por experiencia.

Manejaron los números N y Q positivos, el nº elevaba al hombre y lo hacía trascender, para ellos el nº 1 era la unidad y el principio de todo.

 

 

            1            2            3            4                     

 

            1            3            6            10

 

T.G= n/2*(n+1)

Experimentó lo suficiente como para comprobar que cada número derivaba del precedente, realizando las sucesivas adiciones, no con cifras sino con guijarros.

El numero triangular 4 interesó especialmente a Pitágoras y fue llamado cuaterium o tetratix, al cual la escuela le asigno propiedades maravillosas.

Los números cuadrados fueron investigados de igual manera, para pasar, por ej. , del tres al cuatro, hay que añadir un número de guijarros que envuelvan al nº 3 por dos de los lados de un ángulo y esa serie de guijarros  

En geometría trabajaron en polígonos y poliedros regulares simbolizaban la recta con un pentágono con una estrella y la llamaron pantalla.

Inesperadamente surge el teorema de Pitágoras que se cumplían para todo triángulo rectángulo y lo llevo a abandonar la geometría para dedicarse a la aritmética surgiendo así los números irracionales.

Descubrieron cinco poliedros regulares, asociando al tetraedro con el fuego, al icosaedro con el agua, al cubo con la tierra, al octaedro con el aire y al dodecaedro con el cosmos.

Formularon las definiciones de elementos fundamentales como la línea, superficie, ángulos, etc., se le debe una serie de teoremas que implican el conocimiento de las determinaciones de áreas y de las propiedades de las rectas paralelas. Desarrollaron la teoría bastante completa del triángulo incluyendo la demostración de las propiedades de la suma de los ángulos interiores, en forma similar a la actual. Utilizaban el método de demostración inductivo, el que presupone los siguientes pasos:

1)      Observación  de un hecho particular.

2)      Establecimiento de hipótesis (de que ese hecho puede ser válido para todo en general).

3)      Verificación de la hipótesis para otros casos particulares.

4)      Confirmación deductiva de la hipótesis como ley general.

Los pitagóricos también trabajaron con progresiones aritméticas.

 

3)   Eléatas

Son de la primera mitad del siglo V A .C.

Esta escuela se caracterizó por la crítica.

Criticaron a los Jonios y pitagóricos. Para ellos la crítica era un método científico.

El más importante fundador fue Parménides de Elea, filosofo que llego a la realidad solo por medio de la razón, decía que hay que diferenciar la apariencia (el no ser de las cosas), y la esencia (el ser de las cosas).

Para Parménides el elemento que rige  el universo es la tierra.

El discípulo de Parménides fue Zenón, quien critica a los pitagóricos, el uso de conceptos no bien establecidos por parte de ellos.

Afirmó que si no se tiene claridad en los conceptos se llega a una paradoja.

Las tres paradojas más importantes son:

1)      Si Aquiles está en la posición a y le da la ventaja a la tortuga, ésta va a tener  una posición inicial que cuando Aquiles logre alcanzarla, la tortuga algo tiene que haber recorrido, y así sucesivamente, por lo tanto no debe haber forma de que Aquiles alcance a la tortuga. Observamos que intuitivamente manejaban el concepto de sucesiones convergentes.

2)      Se quiere lanzar una flecha de A hasta B, ésta va a tener que recorrer  la mitad del camino, por lo tanto la flecha no se mueve.

3)      Un segmento está formado  por infinitas puntas, las cuales tienen dimensiones nulas, ¿cómo se puede llegar a tener un segmento entonces?   

De las tres paradojas, se deducen que el sentido de la vista nos miente, por lo tanto no se debería confiar tanto en nuestros sentidos. Se origina en ellas el miedo al infinito, por lo tanto intentan iluminarlo.

Aquí nacen los tres problemas geométricos.

1)      Trisección del ángulo con regla y compás.

2)      Cuadratura del círculo, es decir, encontrar un cuadrado que sea equivalente al círculo dado.

 El teorema de Delos, el que habla de la duplicación del cubo.

Autor: Juan Rafael Delía

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