La Matemática Antigua, por Juan Rafael Delía. Tercera Parte

Autores

Sócrates.

Del  año 669 al 399 A.C. fue el creador del método socrático, este método consiste en interrogaciones donde se halla implícita la respuesta. Estas interrogaciones deben se hechas tanto por el maestro como por el alumno. Las mismas nos permiten recordar y descubrir la ciencia.

Hizo una distinción entre ciencia pura y aplicada, aclarando que la segunda no puede progresar sin la primera, de la misma manera diferencia el sentido común y las paradojas científicas, argumentando que el sentido común se equivoca frecuentemente y las paradojas enmascaran la verdad real.

 

Platón.

428 al 347 A.C.

Para Platón existen dos mundos, el inteligible (en el que se haya el conocimiento y el pensamiento), y el visible o tangible (donde se hallan los objetos e imágenes).

Para Platón el puente entre ambos mundos es la matemática.

Por ejemplo, el cuadrado pertenece al mundo inteligible pero los matemáticos lo hacen visible para poder interpretarlo.

 

Aristóteles.

384 al 322 A.C.

La lógica Aristotélica surge de los torneos dialécticos, debido a esto los matemáticos proporcionaban un modelo para la adquisición de verdades generales.

Poseían definiciones, axiomas, teoremas deducidos de ambos pensadores anteriores, demostraron que si bien el silogismo no constituye un instrumento para descubrir la verdad, es muy preciso para controlarla y verificarla.

Las matemáticas son el modelo de la lógica formal, en la época de Aristóteles constituían la única disciplina aplicable al conocimiento de la naturaleza.

En esta época habían comenzado los primeros estudios sobre la óptica, astronomía, mecánica, que Aristóteles ubicaba ocasionalmente dentro de la matemática física.

Aristóteles decía: “existen definiciones que no definen nada, por lo tanto se deben demostrar”.

Se tenía noción de los teoremas de existencia y unicidad.

 

Eudoxio.

408 al 355 A.C.

Fue discípulo de Platón, investigador y matemático puro. Se dedicó a la teoría de magnitudes y tomo tal rigor lógico que no fue superado hasta el siglo XIX.

Desarrollo las teorías de las proposiciones, dejo las bases del método de exhaución, que era el método de la demostración que consiste en la doble reducción al absurdo.

También se conoce el postulado Eudoxio-Arquímedes, el cual expresa: “dadas dos cantidades, una menor que la otra, siempre existe un múltiplo de la menor que supera a la mayor”.

Trabajó siempre con la sección auerea.

 

Periodo Helenístico.

A principio del siglo III A.C. surge en la península Itálica el imperio Romano.

Alejandro Magno  le concedió a Grecia la expansión territorial lo que permitió la cultural, convirtiéndose  Alejandría en un centro cultural. Surge en esta ciudad la biblioteca y el museo (universidad para nosotros hoy) en esta época se presenta la preparación de alguna ciencia, como matemática, astronomía, mecánica y geografía. En Alejandría surgen Euclides, Arquímedes, Apolonio y otros.

 

Euclides.

Su obra fue “los elementos”. Euclides relaciono aquellos contenidos que consideraban imprescindibles para darle a su obra el carácter de sistema, por eso no reunió toda la geometría que se conocía hasta entonces.

De Platón recibió  la abstracción dándole más importancia al conocer que al hacer.

De Aristóteles arrastro  la idea de definir. Hizo una matemática sin objetivos prácticos y distinguió entre principios y teoremas, dentro de los primeros hizo hincapié en los axiomas, postulados y definiciones. Declaro de entrada los supuestos básicos y a partir de ellos construyo los supuestos de la matemática con un rigor lógico.

Trece libros constituyen su obra, en ellos hay 465 proposiciones, de las cuales 43 son problemas y 372 son teoremas.

La mayoría de los libros los inicia con definiciones que él llama términos.

En el primer libro presenta los axiomas que los define como nociones comunes o conceptos en general. Y los postulados que los definen como conceptos meramente geométricos.

Los libros del I al IV tratan de geometría plana, el V y VI  proporcionalidad y semejanza, el VII ,VIII y IX, la teoría de números, el X, irracionales, y el XI, XII y XIII , geometría del espacio.

Si bien la obra de Euclides fue fundamental, tuvo también sus críticas, especialmente el V postulado que origina la aparición de la geometría no Euclideana.

 

Los exponentes de Euclides.

Comienza con definiciones apartándose d las normas Aristotélicas, diciendo que el punto es lo que no tiene partes; línea es la longitud que no tiene anchura, y recta es la línea que yace sobre todos sus puntos. Dice que dos rectas de un plano son paralelas si no se cortan. Observemos que no trabaja con el infinito, a pesar de esto su obra no es afectada.

Con sus definiciones trató de ubicar a sus alumnos en que a todo lo que él se refería, pertenecía al mundo inteligible de Platón.

Llamó a los símbolos cenoia.

En los postulados se destaco la idea de paralelismo y de pertenencia y los axiomas los de congruencia.

El orden y la continuidad fueron dados más tarde por Gilberth.

 

 

Críticas favorables.

Criticas desfavorables.

v      Por primera vez aplicó un método que fue fecundo para la matemática y la ciencia en general.

v      Los conocimientos matemáticos que tomó, los organizó en forma matemática muy ordenada.

v      Subrayó la característica abstracta de la matemática, prescindiendo de lo concreto y de la aplicación práctica.

v      Mantuvo un orden lógico en toda su obra.

v      Tuvo recursos deductivos y métodos de demostración.

v      Hace diferencia entre postulado y axioma, a pesar de ser ambos puntos de partida.

v      Lo que postula no alcanza para desarrollar toda la geometría.

v      Definió entes fundamentales como punto y línea.

 

Arquímedes.

287-212 A.C.

Fue el más destacado de los hombres de ciencia de su época.

Gran matemático, físico e ingeniero. Sus contribuciones a las matemáticas superiores fueron notables, entre las que se cuentan la determinación de los limites para el ordenp, que es él numero que determina la relación entre la circunferencia y el diámetro del círculo.

Empleando un método de aproximación de área por medio del aumento progresivo de los lados de un polígono inscripto y circunscripto en una circunferencia.

Demostró que para que un polígono de 96 lados, el valor de p estriba entre 3.1/2 y 3.10/71.

En la introducción de la obra “el contador” de Arquímedes, este sienta las bases de una terminología que permite representar un número de cualquier magnitud, fue además el primero que determina él arrea de una elipse por medio de la formula:

A= ib.p, donde a b son los semiejes de la elipse.

Estableció la relación que existe entre los volúmenes del cono, la semiesfera y el cilindro (esto se da en ciertos casos).

El método de aproximación de Arquímedes estableció el concepto matemático de límite, el cual sirvió para el desarrollo de cálculo infinitesimal.

Sobre los conoides y esferoides, trata de los sólidos engendrados por la rotación de las superficies cónicas en torno a sus ejes.

También estudio la cuadratura de la parábola, da él arrea del segmento parabólico (4/3 del arrea del triángulo inscripto de igual base y altura).

En el “arenario” expone una manera de designar números grandes (hasta 10 elevado a la potencia 50000) y calcula el nº de granos de arena que podría contener el universo.

Finalmente en su admirable método mecánico para resolver problemas geométricos.

Apolonio.

Siglo II  A.C.

Su obra se llama “cónica” y está formada por 8 libros. Trató en estos libros propiedades en general de las cónicas, pero hizo el estudio de la figura que se obtiene seccionando una superficie cónica.

Apolonio es el que dio el nombre de elipse, parábola e hipérbola.

Realizo otros trabajos sobre cuadraturas, poliedros regulares, problema de Delos, pero ninguno de tal envergadura como el de las cónicas. También escribió sobre los elementos de Euclides.

En este siglo también brillaron Eratóstenes, Nicomedes, Dóciles, Zenodoro y Herón.

Generalidades de la época.

  1. 1.      “Ahora se demuestra que para conocer hay que demostrar”.
  2. 2.      Surge la matemática racional sobre la empírica.
  3. 3.      Con los pitagóricos nace la abstracción.
  4. 4.      Se critican los cálculos prácticos.
  5. 5.      A las matemáticas que ellos hacen la llaman logística, para distinguir de la aritmética.
  6. 6.      La matemática es estática.
  7. 7.      El continuo ¿por qué?, no le permite dinamismo.

Autor: Juan Rafael Delía

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